1.- Introducción
Los lectores de esta web ya están familiarizados con la Proporción Áurea. Hemos explorado muchas de sus propiedades y aplicaciones. Hemos visto también que es un miembro de una familia de números especiales conocidos como las Medias Metálicas, las cuales tienen una representación en fracción continua del tipo \([p; p, p, p, ...]\). En este artículo explicamos cómo la Razón áurea también se puede generalizar desde el punto de vista geométrico además del numérico. Así como la Razón Áurea se relaciona con el pentágono unitario, su generalización directa estarà relacionada con el heptágono unitario.
Considere el par de números \(1.80194\) y \(2.24698\). Vamos a ver que son tan especiales como nuestra familiar \(\varphi = 1.618033...\). Si hacemos el producto de ellos, puede verse que coincide con su suma: \(1.80194 · 2.14698 = 4.04892 = 1.80194 + 2.14698\). El cuadrado del primero es igual al segundo más uno: \(1.80194^2 = 3.24698 = 2.24698 + 1\). El cuadrado del segundo es una unidad más de la suma de ambos: \(2.24698^2 = 5.04892 = 1.80194 + 2.24698 + 1\). Nótese el parecido con \(\varphi^2 = \varphi + 1\) y con \(\varphi^2·\varphi = \varphi^2 + \varphi\). Si dividimos el segundo por el primero, se obtiene el primero menos una unidad: \(1.80194 / 2.24698 = 0.80194 = 1.80194 - 1\). Y lo mismo sucede a la inversa: \(2.24698 / 1.80194 = 1.24698 = 2.24698 - 1\). Compárese con \(1/\varphi = \varphi/\varphi^2 = \varphi - 1\). Así que podemos ver que este par de números especiales exhiben unas propiedades numéricas similares a la Razón áurea: convierten multiplicaciones y divisiones en sumas. La cuestión que trataremos de responder en las secciones siguientes es si son óptimos de alguna forma, y cual es su interpretación geométrica.
2.- Las diagonales del heptágono
La proporción áurea es la longitud de la diagonal de un pentágono de lado unitario. De forma similar, vamo a mostrar que el par de nmúmeros especiales mostrados más arriba, que a partir de ahora denotaremos \(\rho\) y \(\sigma\), resultan ser las longitudes de las diagonales de un heptágono de lado unitario:
Por simetría resulta sencillo comprobar que todos los ángulos internos \(\alpha\) del heptágono son iguales. Como los ángulos de un triángulo deben sumar \(\pi\), este ángulo riene que ser \(\alpha=\pi/7\). Teniendo en cuenta estos hechos y extrayendo del heptagrama el triángulo coloreado, podemso calcular fácielmente los valores exactos de \(\rho\) y \(\sigma\) usando el teorema del seno:
Los matemáticos probablemente dirían: "esta es una generalización evidente al heptágono de la fórmula de la diagonal del pentágono. Pero ello no demuestra ninguna relación con la proporción áurea como la forma óptima de dividir un segmento en dos mitades". Así que la pregunta aún es: ¿cómo se relacionan estos dos números mágicos \(\rho\) y \(\sigma\) con las proporciones óptimas dentro de un segmento? Esta es justamente la relación que descubrió Peter Steinbach por casualidad [1],[2]. Antes de entrar más a fondo en esta materia, necesitamos introducir el concepto de una proporción tres por tres.
3.- Una proporción tres por tres
Considere una caja de zapatos sin tapa. Imagínese que quisiera construir dos réplicas de ella pero de tamaño mayor: una el doble de grande, y la otra tres veces mayor. Entonces se encontraria ante una proporción tres por tres. Las dimensiones originales (altura \(H\), anchura \(W\) y profundidad \(D\)) se tendrían que preservar de forma proporcional en ambas construcciones, con el factor de conversión ( o de escala) adecuado en cada caso. Esto se puede expresar matemáticamente como:
Imagine que ahora nos topamos con un conjunto de nueve números \((a, b, c; u, v, w; x, y, z)\) y queremos comprobar si siguen una proporción tres por tres. En una primera aproximación, comprobaríamos- nueve cocientes individuales: (A) de los elementos de la primera fila con los elementos de la segunda, (B) los elementos de la primera con los elementos de la tercera, y por último (C) los elementos de la segundacon los elementos de la tercera. Sin embargo, si miramos más detemnidament la proporción tres por tres, observamos que resulta suficiente comprobar sólo cuatro cocientes. Entonces los cinco restantes se cumplirán automáticamente:
4.- La trisección áurea
Hemos viosto en nuestro artículo previo que la Proporción Áurea divide un segmento en dos partes que encajan en una proporción dos por dos, de forma tal que el total es a la parte larga como la parte larga es a la parte pequeña. Ahora, ¿qué proporciones se pueden hacer mediante múltiples partes de un segmento? La primera generalización consiste en realizar dos cortes. De esta forma creamos seis segmentos: las tres partes, el total, y la suma del segmento central con el de la derecha o con el de la izquierda. Peter Steinbach entonces se preguntó a si mismo: "Existe alguna proporción extendida que puedan satisfacer seis longitudes como estas?" La respuesta se halla en la siguiente figura, que muestra trisección óptima de un segmento. Se trata de la mejor posible en el sentido que es la única trisección óptima análoga a la bisección de la Proporción Áurea. Por óptima queremos decir: "Así como no existe otro corte como la Proporción Áurea que encaje en una proporción no trivial, no existen ningún otro par de cortes a los mostrados en la Figura 2 que porporcionen un número igual o superiro de proporciones" [2].
Normalizando los cálculos a la longitud del primer segment \(AB\), vemos que basta encontrar el cociente de los dos segmentos restantes \(BC\) y \(CD\) con el primero, a las cuales llamamos \(\rho\) y \(\sigma\). Para que estos dos números satisfagan realmente una proporción tres por tres, deben cumplir el conjunto de cuatro ecuaciones que hemos visto en la sección 3 más arriba (conjuntos A y B). Tomando las primeras dos filas de la proporción, obtenemos el primer conjunto de ecuaciones que se deben satisfacer:
Haciendo lo mismo con la primera y la última filas, obtenemos el segundo par de ecuaciones. Como hemos visto en la sección 3, nótese que no necesitamos comprobar ningún otro cociente: si estas cuatro ecuaciones se cumplen, entonces se cumplirán los nueve cocientes de la proporción tres por tres.
Lo que el análisis previo nos muestra es que, en realidad, sólo hay tres ecuaciones que se deban satisfacer. De hecho, con un poco de álgebra se puede demostrar que cualquier par de esas tres ecuaciones es suficiente (o lo que es lo mismo, la tercera de ellas se puede deducir a partir de las otras dos). Esto se puede demostrar elegantemente de forma gráfica. En la siguiente figura dibujamos las ecuaciones 1, 2 y 3 en el plano \(\rho-\sigma\). Podemos observar que cualquier par de curbas (tanto el par verde-rojo, como el par verde-azul, o el rojo-azul) intersectan en exactamente los mismo tres puntos. Esta figura también muestra la solución positiva de estas ecuaciones. Como cabría esperar, ¡su valor numérico coincide con la longitud de las diagonales del heptágono unitario!
La solución numérica de estas ecuaciones también se puede obtener de forma separada para \(\rho\) y \(\sigma\) si nos damos cuenta que satisfacen dos equaciones cúbicas:
Estas ecuaciones no tienen una solución cerrada como sucedía con la Proporción Áurea. Tenemos que resolverlas de forma numérica para encontrar que \(\rho=1.8019377...\) y \(\sigma=2.24697960\) son las soluciones que estábamos buscando. En general, se puede demostrar [1] que el polinomio \(x^3-x^2-2x+1\) tiene las raíces \(\rho\), \(1/\sigma\) y \(-\sigma/\rho\); mientras que el polinomio \(x^3-2x^2-x+1\) tiene como raíces \(\sigma\), \(1/\rho\) y \(\rho/\sigma\) (compárese con las intersecciones de las curvas de la gráfica de más arriba). Aquí tenemos una prueba "numerica" de que la Trisección Áurea de un segmento puede hallarse de forma geométrica en las diagonales de un heptágono unitario. Además, en lo que sigue vamos a demostrar que estas diagonales en realidad satisfacen exactamente las misma ecuaciones 1 y 2 que la Trisección Áurea de un segmento. Ello constituirá la demostración analítica de que estamos observando el mismo fenómeno desde dos puntos de vista distintos.
Consideremos el triángulo central del heptágono incluyendo todos sus segmentos diagonales. La figura siguiente muestra también todos sus ángulos. Las longitudes a determinar son \(x\) e \(y\). La única cosa de la que debemos darnos cuenta es que contiene diversos triángulos semejantes, los pequeños incluídos dentro de los más grandes. Así pues las ecuaciones deseadas se desprenden por similaridad:
5.- Sumar es multiplicar
Los números de esta familia óptima (\(\varphi\),\,\rho,\, \sigma, ...) tienen propiedades destacadas. Los artistas han hecho un uso extenso del hecho que figuras semejantes con estas proporciones pueden organizarse fácilmente y pueden diseccionarse en otros conjuntos de figuras semejantes. "Este es el origen de la idea griega de la progresión geométrica - que la multiplicación se puede conseguir mediante la suma"[2]. Así como es bien conocido que el cuadrado de la proporción áurea es una unidad más de si misma (\varphi^2 = \varphi + 1) y que restándole una unidad se obtiene su inverso (1/\varphi= \varphi - 1), las diagonales del heptágono o las proporciones de la Trisección Áurea tienen unas propiedades similares, las cuales se pueden deducir a partir de las ecuationes 1, 2 y 3 de la forma siguiente:
Estas son precisamente las sorprendentes propiedades que hemos comprobado en la introducción de forma numérica. La figura siguiente muestra una analogía visual de estas ecuaciones; se puede observar que quitando un cuadrado unitario de un rectángulo de proporciones \(1:\rho\) o \(1:\sigma\) queda otro rectángulo de proporciones \(\rho/\sigma\) en orientaciones diferentes. En las referencias [1] y [2] pueden encontrarse más ejemplos visuales de este tipo:
6.- La trisección áurea en el heptágono
El heptagrama contiene cuatro tipos de triángulo distintos, los cuales incluyen proporciones \(\rho\) y \(\sigma\) diferentes, dependiendo de sus ángulos que son siempre múltiplos de \(\alpha=\pi/7\).
Estos triángulos se encuentran en el heptagrama en tamaños diferentes, tal como mostramos en colores en las figuras siguientes. Dejamos al lector la deducción de las proporciones en cada triángulo (puede resultar de ayuda el heptagrama mostrado más adelante):
Trabajando las semejanzas de estos triángulos se puede llegar a una forma de dividir las diahgonales pequeña (\(\rho\)) y grande (\(\sigma\)) del heptágono de lado unidad en términos de fracciones proporcionales a estas longitudes. Como integración de las dos formas de abordar los números mágicos \(\rho\) y \(\sigma\), mostramos también la trisección áurea dentro del heptágono (nótese que \(X : Y : Z = 1/\sigma^2 : \rho/\sigma^2 : 1/\sigma = 1 : \rho : \sigma\)).
7.- Aproximaciones racionales
Finamente, no podemos terminar este artículo sin realizar una conexión con las sucesiones de números racionales que permiten aproximar nuestros números mágicos \(\varphi\), \(\rho\) y \(\sigma\). Como sabemos, la sucesión de Fibonacci proporciona un método de aproximarse paso a paso a la proporción áurea. Esta sucesión también está conectada con las potencias sucesivas de \(\varphi\). De forma similar, existe un par de sucesiones interrelacionadas \({x_k}\) y \({y_k}\) que porporcionan aproximaciones racionales a \(\rho\) y \(\sigma\). Empezando por tres números uno como se puestra a continuación, se puede obtener el siguiente elemento de la primera sucesión sumando el elemento previo de ambas sucesiones (\(x_k=x_{k-1}+y_{k-1}\)), y el próximo elemento de la segunda sucesión sumando al elemento actual de la primera sucesión el elemento anterior del anterior en esa sucesión (\(y_k=x_k+y_{k-2}\)). Después de completar un paso cualquiera de este proceso, el cociente del elemento actual en cada sucesión con el elemento anterior de la segunda de ellas proporciona una aproximación racional a \(\rho\) y \(\sigma\), respectivamente. Algunos autores denominan a estas dos sucesiones sucesiones de Fibonacci de tercer orden:
Existe una familia de matrices que proporcionan una fdorma fácil de calcular estas sucesiones mediante multiplicación de matrices. Se las conoce como matrices áureas, y se pueden construir empezando con un simple triángulo de unos perpendicular a la diagonal principal. Veamos estas matrices en acción para el caso de la proporción áurea:
Como podemos observar, dividir todos los elementos de la matriz por el primer elemento proporciona una aproximación racional a la proporción áurea 2x2. De forma similar podemos calcular las matrices que permitren aproximar la trisección áurea:
Una vez más, dividiendo todos los elementos de la matriz por su primer elemento obtenemos aproximaciones racionales a todos los miembros de la proporción áurea 3x3. Cuanto mayor sea la potencia de la matriz áurea orioginal, mejor es la aproximación a las proporciones exactas.
Como el lector podría sospechar, este proceso no se para en el caso 3x3. La matriz áurea 4x4 proporciona una forma de calcular las sucesiones de Fibonacci de 4º orden. ¿Y qué es lo que aproximan esas sucesiones? Pues bien, nada más y nada menos que la quadrisección óptima de un segmento, que por supuesto es otra forma de mirar a las tres diagonales distintas de un eneágono de lado unitario. Peter Steinbach ha continuado este proceso hasta la pentasección (proporción áurea 5x5) usando las diagonales del 11-gono de lado unidad. Él afirma que "esta es la mayor proporción óptima única que se conoce, y añún no existe una demostración matemática de que esta unicidad continúe indefinidamente" [2].
Como parágrafo de conclusión, nos gustaría citarlo a él cuando dice:
"Considerando la prevalencia de la proporción áurea y la sucesión de Fibonacci en el crecimiento de las formas naturales, uno se pregunta si estos otros cocientes y sucesiones ocurren en la naturaleza. Por ejemplo las simetrías en las flores se dan principalmente en tipos de 4, 5, 6, 7 y 8 pliegues, y se han estudiado ámpliamente números algebraicos asociados con tan sólo uno de ellos -el heptágono- en una gran variedad de contextos naturales. ¿Será que hemos pasado por alto el heptágono? ¿Podrían \(\rho\) y \(\sigma\) encontrarse a simple vista?"
Referencias
[1] Steinbach, Peter: "Golden Fields: A Case for the Heptagon", Mathematics Magazine, vol.70, no. 1, February 1997.
[2] Steinbach, Peter: "Sections Beyond Golden", Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, 2000.
Last updated: 2015/08/09
